Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri Matematika Peminatan Kelas XI Buku Sukino LKS 9
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakaatuh
Sobat hudamath, di postingan kali ini akan kita bahas soal-soal tentang persamaan trigonometri bentuk a cos x + b sin x = c yang diambil dari Buku Sukino BAB 2 LKS 9 Matematika Peminatan Kelas XI Kurikulum 2013 edisi revisi 2016. Untuk pembahasan no yang yang tidak terposting di postingan ini bisa sobat download di bagian bawah postingan ini.
Langsung saja ya
1. Tentukan nilai x dalam interval [0,360] yang memenuhi persamaan di bawah ini.
a. \(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = \sqrt {13} \)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = 2,b = 3 \to \) titik (2,3) di kuadran 1
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \alpha = 56,3^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = \sqrt {13} \)
\(\sqrt {13} \cos \left( {x - 56,3^\circ } \right) = \sqrt {13} \)
\(\cos \left( {x - 56,3^\circ } \right) = 1\)
\(x - 56,3^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 56,3^\circ = 0^\circ \)
\(x = 56,3^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 56,3^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 56,3^\circ \)
\(x = 56,3^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 56,3^\circ + k.360^\circ \)
untuk \(k = 0 \to x = 56,3^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {56,3^\circ } \right\}\)
b. \(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = 5\)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = 4,b = - 3 \to \) titik (4, -3) di kuadran 4
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 5\)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right)\)\( \Rightarrow \alpha = 323,13^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = 5\)
\(5\cos \left( {x - 323,13^\circ } \right) = 5\)
\(\cos \left( {x - 323,13^\circ } \right) = 1\)
\(x - 323,13^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 323,13^\circ = 0^\circ \)
\(x = 323,13^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 323,13^\circ + k.360\)
unttuk \(k = 0 \to x = 323,13^\circ \)
\(x = 323,13^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 323,13^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 323,13^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {323,13^\circ } \right\}\)
c. \(12\sin x^\circ - 5\cos x^\circ = 13\)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(12\sin x^\circ - 5\cos x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = - 5,b = 12 \to \) titik (-5, 12) di kuadran 2
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{12}^2}} = 13\)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{12}}{{ - 5}}} \right)\)\( \Rightarrow \alpha = 112,62^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(13\cos \left( {x - 112,62^\circ } \right) = 13\)
\(\cos \left( {x - 112,62^\circ } \right) = 1\)
\(x - 112,62^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 112,62^\circ = 0^\circ \)
\(x = 112,62^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 112,62^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 112,62^\circ \)
\(x = 112,62^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 112,62^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 112,62^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {112,62^\circ } \right\}\)
Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakaatuh
1. Tentukan nilai x dalam interval [0,360] yang memenuhi persamaan di bawah ini.
a. \(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = \sqrt {13} \)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = 2,b = 3 \to \) titik (2,3) di kuadran 1
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \alpha = 56,3^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(3\sin x^\circ + 2\cos x^\circ = \sqrt {13} \)
\(\sqrt {13} \cos \left( {x - 56,3^\circ } \right) = \sqrt {13} \)
\(\cos \left( {x - 56,3^\circ } \right) = 1\)
\(x - 56,3^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 56,3^\circ = 0^\circ \)
\(x = 56,3^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 56,3^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 56,3^\circ \)
\(x = 56,3^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 56,3^\circ + k.360^\circ \)
untuk \(k = 0 \to x = 56,3^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {56,3^\circ } \right\}\)
b. \(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = 5\)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = 4,b = - 3 \to \) titik (4, -3) di kuadran 4
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 5\)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right)\)\( \Rightarrow \alpha = 323,13^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(4\cos x^\circ - 3\sin x^\circ = 5\)
\(5\cos \left( {x - 323,13^\circ } \right) = 5\)
\(\cos \left( {x - 323,13^\circ } \right) = 1\)
\(x - 323,13^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 323,13^\circ = 0^\circ \)
\(x = 323,13^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 323,13^\circ + k.360\)
unttuk \(k = 0 \to x = 323,13^\circ \)
\(x = 323,13^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 323,13^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 323,13^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {323,13^\circ } \right\}\)
c. \(12\sin x^\circ - 5\cos x^\circ = 13\)
Pembahasan :
Proses pengubahan \(12\sin x^\circ - 5\cos x^\circ = R\cos \left( {x - a} \right)^\circ \)
Diketahui \(a = - 5,b = 12 \to \) titik (-5, 12) di kuadran 2
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{12}^2}} = 13\)
\(\alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{b}{a}} \right) \Rightarrow \alpha = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{12}}{{ - 5}}} \right)\)\( \Rightarrow \alpha = 112,62^\circ \) (kalkulator)
Proses penyelesaian persamaan:
\(13\cos \left( {x - 112,62^\circ } \right) = 13\)
\(\cos \left( {x - 112,62^\circ } \right) = 1\)
\(x - 112,62^\circ = {\cos ^{ - 1}}1\)
\(x - 112,62^\circ = 0^\circ \)
\(x = 112,62^\circ + 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 112,62^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 112,62^\circ \)
\(x = 112,62^\circ - 0^\circ + k.360^\circ \)
\( = 112,62^\circ + k.360\)
untuk \(k = 0 \to x = 112,62^\circ \)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{ {112,62^\circ } \right\}\)
Soal dan pembahasan LKS yang lain cek disini.
Kritik dan saran silahkan berikan di komentar, termasuk jika ada salah hitung dan atau salah ketik.
Terimakasih
Semoga bermanfaat 😊
Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakaatuh
Comments
Post a Comment