Trigonometri Analitika

Tidak Perlu Hafal Semua, Begini Cara Memahami Rumus-Rumus Trigonometri

Assalamu'alaikum wr. wb

Hallo sobat Hudamath, mungkin diantara kalian banyak yang merasa malas ketika mendengar "Trigonometri", apalagi trigonometri analitika. Mungkin dipikiran kalian langsung terbayang rumus-rumus yang banyak seperti di bawah ini:

                                       Rumus-rumus Trigonometri Analitika

Pusing??????? :D Haruskah kita menghafalnya? Sebenarnya ini tergantung, tergantung disuruh Bapak/Ibu Guru untuk menghafal atau tidak? Jika memang ditugaskan untuk menghafal ya harus dihafalkan. :V

Namun jika Bapak/Ibu Guru tidak meminta untuk menghafalkan, tetap harus paham. Hloh sama aja dong berarti? Beda sob, kalo hafal belum tentu paham, tapi kalo paham lama kelamaan nanti hafal.

Jadi di bab ini sebenarnya kita tidak harus menghafal semua rumus-rumus yang kurang lebih ada 20an lebih. Kita cukup tahu konsep dasar Trigonometri dan 3 rumus dasar Trigonometri yang sudah pernah di dapat di kelas X.

Alat dan bahan (rumus dan konsep yang digunakan) :

1. Konsep dasar Trigonometri
   
2. Rumus dasar Trigonometri 
   

Nah dari kedua bahan diatas akan kita kembangbiakkan menjadi beberapa rumus baru.

1.  \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

• pindah \({\sin ^2}x\) ke ruas kanan sehingga menjadi:
  
• pindah \({\cos ^2}x\) ke ruas kanan sehingga menjadi: 
  
• dibagi dengan \({\sin ^2}x\) sehingga menjadi: 
  
• dibagi dengan \({\cos ^2}x\) sehingga menjadi: 
  

2.  \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

     \(\sin \left( {x + x} \right) = \sin x\cos x + \cos x\sin x\)

    variabel \(x\) yang belakang diganti dengan \(y\) sehingga menjadi rumus sin jumlah dan selisih sudut:

    Jumlahkan dan kurangkan kedua rumus sehingga diperoleh dua rumus perkalian trigonometri:

    Misal : \(\left( {x + y} \right) = A\) dan \(\left( {x - y} \right) = B\)
    Eliminasi variabel \(y\) 

    Eliminasi variabel \(x\) 

    Sehingga diperoleh rumus jumlah dan selisih sinus: 

3.  \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)
     a.  bentuk \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) dapat dijabarkan menjadi \(\cos \left( {x + x} \right) = \cos x\cos x - \sin x\sin x\)
          variabel \(x\) yang belakang diganti dengan \(y\) sehingga menjadi rumus cos jumlah dan selisih sudut: 

            Jumlahkan dan kurangkan kedua rumus sehingga diperoleh dua rumus perkalian trigonometri:

              Misal : \(\left( {x + y} \right) = A\) dan \(\left( {x - y} \right) = B\)

    Eliminasi variabel \(y\) 

    Eliminasi variabel \(x\) 

    Sehingga diperoleh rumus jumlah dan selisih cosinus:

    b.  Ingat! \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\) sehingga:

         \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

                         \( = 1 - {\sin ^2}x - {\sin ^2}x\)

         \(2{\sin ^2}x = 1 - \cos 2x\)

         \({\sin ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)\)

         \(\sin x =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \) 

    c.  Ingat! \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\) sehingga:

         \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

                          \( = {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\)

         \(2{\cos ^2}x = 1 + \cos 2x\)

         \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right)\)

         \(\sin x =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \) 

4.  Ingat! \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) sehingga:

     \(\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\)

                    \( = \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\)

     dibagi dengan \({{{\cos }^2}x}\)

     \(\tan 2x = \frac{{\frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\) 

    dijabarkan menjadi:

    \(\tan \left( {x + x} \right) = \frac{{\tan x + \tan x}}{{1 - \tan x\tan x}}\) 

5.  \(\tan \frac{1}{2}x = \frac{{\sin \frac{1}{2}x}}{{\cos \frac{1}{2}x}}\)

                             \( = \frac{{ \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{2}} }}{{ \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{2}} }}\)

     

    Rumus ini masih bisa dikembangkan lagi:

• dikalikan sekawan penyebut

          \(\tan \frac{1}{2}x = \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{{\sqrt {1 + \cos x} }}.\frac{{\sqrt {1 + \cos x} }}{{\sqrt {1 + \cos x} }}\)

                             \( = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} }}{{1 + \cos x}}\)

                             \( = \frac{{\sqrt {{{\sin }^2}x} }}{{1 + \cos x}}\)

• dikalikan sekawan pembilang

          \(\tan \frac{1}{2}x = \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{{\sqrt {1 + \cos x} }}.\frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{{\sqrt {1 - \cos x} }}\)

                             \( = \frac{{1 - \cos x}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} }}\)

                             \( = \frac{{1 - \cos x}}{{\sqrt {{{\sin }^2}x} }}\)

Jadi pada intinya, untuk memahami rumus-rumus trigonometri analitika, sobat Hudamath hanya "cukup bermodalkan" konsep dasar dan rumus dasar trigonometri.

Untuk lebih jelasnya, baca juga:

[Lengkap] Kumpulan Soal dan Pembahasan Trigonometri Analitika

Semoga bermanfaat :-)

Wassalamu'alaikum wr.wb