Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 453

Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 453

"Tips: Ubah ke mode tampilan desktop jika di tampilan mobile equation tidak terbaca"

1.     Jika nilai maksimum fungsi $f\left( x \right) = {a^2}\sin \left( {{a^3}x} \right) + a$ adalah -1/4, maka periode fungsi f(x) adalah…

(A) π

(B) 2π

(C) 4π

(D) 8π

(E) 16π

Jawab : E
Pembahasan:
Maksimum f(x) terjadi saat sin (a^3x)=1
$- \frac{1}{4} = {a^2}\left( 1 \right) + a$
${a^2} + a + \frac{1}{4} = 0$
$4{a^2} + 4a + 1 = 0$
 ${\left( {2a + 1} \right)^2} = 0$
$a =  - \frac{1}{2}$
Sehingga $f\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \left( { - \frac{1}{8}x} \right) - \frac{1}{2}$
 $f\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \left( { - \frac{1}{8}x} \right) - \frac{1}{2}$

Periode $= \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{8}}} = 16\pi$

2.    Pencerminan titik P(a,2) terhadap garis y=-3 dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 5 satuan ke kanan dan b satuan ke atas, mengakibatkan bayangan menjadi P'(1,-7). Nilai a+b=...

(A) -5

(B) -3

(C) -1

(D) 1

(E) 3

Jawab : B
Pembahasan :
Koordinat Q(x',y') dari hasil pencerminan titik P(a,2) oleh y=-3 adalah:
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{2.\left( { - 3} \right) - 2}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{ - 8}\end{array}} \right)$
pergeseran sejauh 5 satuan ke kanan dan b satuan ke atas sama dengan translasi $T\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\b\end{array}} \right)$
Proses translasi titik Q(a,-8) oleh $T\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\b\end{array}} \right)$
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 7}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 5}\\{ - 8 + b}\end{array}} \right)\; \to \begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 4}\\{b = 1}\end{array}$
Jadi, $a + b =  - 3$

3.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $2\sqrt 2 \;cm$ .Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q  di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ... cm

(A) $\sqrt {15}$

(B)  4

(C) $\sqrt {17}$

(D)  $3\sqrt 2$

(E)  $\sqrt {19}$

Jawab : C
Pembahasan

Untuk menghitung jarak H ke PQ dapat menggunakan segitiga PQH atau segitiga HDR
Segitiga HDR

BD diagonal bidang BD = 4

$DR = \frac{3}{4}BD = 3$

Jarak antara H ke PQ sama dengan jarak antara H ke R

$HR = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {3^2}}$$= \sqrt {8 + 9}$$= \sqrt {17}$

4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {7 - x} }} =  \ldots$      

(A) 8

(B) 12

(C) 16

(D) 20

(E) 24 

Jawab: B
Pembahasan:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {7 - x} }} = \frac{0}{0}$ 

 Dikalikan sekawan:

 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {7 - x} }}.\frac{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {7 - x} }}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {7 - x} }}$

 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{\left( {\left( {x + 1} \right) + \left( {7 - x} \right)} \right)}}$

 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{\left( {2x - 6} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}}$

 $= \frac{{\left( {3 + 3} \right)\left( {\sqrt {3 + 1}  + \sqrt {7 - 3} } \right)}}{2}$

 $= 12$

 5. Diketahui barisan geometri ${U_n}$ dengan ${U_3} + {U_4} = 9\left( {{U_1} + {U_2}} \right)$ dan ${U_1}.{U_4} = 18{U_2}$ . Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah…

(A) 66

(B) 72

(C) 78

(D) 80

(E) 88

Jawab: D
Pembahasan:
Barisan geometri $\to {U_n} = a.{r^{n - 1}}$
${U_3} + {U_4} = 9\left( {{U_1} + {U_2}} \right)$
$a{r^2} + a{r^3} = 9\left( {a + ar} \right)$
$a{r^2}\left( {1 + r} \right) = 9a\left( {1 + r} \right)$
${r^2} = 9$
$r = 3$

${U_1}{U_4} = 18{U_2}$
$a.\;a{r^3} = 18.ar$
$a{r^2} = 18$
$a.9 = 18$
$a = 2$

Jadi, ${S_4} = \frac{{2\left( {{3^4} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = 80$

6.   Daerah R yang dibatasi oleh $y = b\sqrt x ,y = bx$ untuk $x\left[ {0,2} \right]$ Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu x adalah π, maka  b=...

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 1 

Jawab : E
Pembahasan :
Perpotongan kedua kurva:
$y = y \to b\sqrt x  = bx \to \sqrt x  = x \to {x^2} - x = 0$
$x\left( {x - 1} \right) = 0$
x=0 atau x=1

  $$V = \pi \mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {b\sqrt x } \right)^2} - {\left( {bx} \right)^2}dx + \pi \mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {bx} \right)^2} - {\left( {b\sqrt x } \right)^2}dx$$

$$\pi  = \pi \left( {\mathop \smallint \limits_0^1 {b^2}x - {b^2}{x^2}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {b^2}{x^2} - {b^2}xdx} \right)$$

$$1 = \left. {\left( {\frac{{{b^2}{x^2}}}{2} - \frac{{{b^2}{x^3}}}{3}} \right)} \right]\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} + \left. {\left( {\frac{{{b^2}{x^3}}}{3} - \frac{{{b^2}{x^2}}}{2}} \right)} \right]\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}$$

$$1 = \left( {\left( {\frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{3}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {\frac{{8{b^2}}}{3} - \frac{{4{b^2}}}{2}} \right) - \left( {\frac{{{b^2}}}{3} - \frac{{{b^2}}}{2}} \right)} \right)$$

$$\;1 = \frac{{{b^2}}}{6} + \frac{{4{b^2}}}{6} + \frac{{{b^2}}}{6}$$

$1 = {b^2}$

$b =  \pm 1\; \to b = 1$

7.   Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari  orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah…

(A) $7 \times 8!$

(B) $6 \times 8!$ 

(C) $5 \times 8!$ 

(D) $7 \times 7!$

(E) $6 \times 7!$ 

Jawab: A
Banyak semua kemungkinan barisan adalah $9!$
Banyak cara membuat Ari dan Ira berdampingan adalah $2 \times 9!$
Banyak cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah: $9! - \;2 \times 8! = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!$

8.    Jika panjang jari-jari lngkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0$ adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0$, Panjang jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah…

(A) $\sqrt {10}$

(B)  $2\sqrt {10}$

(C) $3\sqrt {10}$ 

(D) $4\sqrt {10}$ 

(E) $5\sqrt {10}$ 

Jawab : B
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0$ adalah ${r_1} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10}$
Jari-jari lingkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0$ adalah ${r_2} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20}$
Panjang jari-jari lngkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0$ adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0$

${r_1} = 2{r_2}$

 $\sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10}  = 2\sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20}$

 $\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10 = 4\left( {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20} \right)$

 $\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10 = \frac{{4{A^2}}}{4} + \frac{{4{B^2}}}{4} - 80$

 $\frac{{3{A^2}}}{4} + \frac{{3{B^2}}}{4} = 90$

 $\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} = 30$

Karena panjang jari-jari lngkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0$ adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran ${x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0$, maka lingkaran yang lebih besar adalah lingkaran  dengan jari-jari ${r_1}$

 ${r_1} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10}  = \sqrt {30 + 10}  = 2\sqrt {10}$

9.  Sisa pembagian $p\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} - 2bx - 4a - 4$ oleh ${x^2} + 1$ adalah $- 5a + 2$. Jika $p\left( x \right)$ dibagi $x - 1$ bersisa $- 17$ maka $4ab =  \ldots$

(A) $- 12$

(B) $- 9$

(C) $- 7$

(D) $- 6$

(E) $- 5$ 

Jawab : D
Pembahasan:
Porogapit

Sisa pembagian dari operasi porogapit $- \left( {2b + 1} \right)x - 3a - 4$ (berderajat 1), sisa pembagian dari soal $- 5a + 2$ (berderajat 0)  artinya $x = 0$ untuk sisa pembagian pada operasi porogapit.

$- 5a + 2 =  - \left( {2b + 1} \right)\left( 0 \right) - 3a - 4$

 $- 5a + 2 =  - 3a - 4$

$2a = 6\; \to a = 3$ 

 $p\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 2bx - 16$
$p\left( x \right)$ dibagi $x - 1$ bersisa $- 17$

$p\left( 1 \right) =  - 17$

 ${1^3} - {3.1^2} - 2b.1 - 16 =  - 17$

$- 2b = 1 \to \;b =  - \frac{1}{2}$ 

Jadi,  $4ab = 4.3.\;\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 6$

 10. Segitiga yang dibatasi oleh sumbu x sumbu y dan garis singgung pada kurva $y = 2\cos x$ di titik P(a,b)  pada kuadran I berbentuk segitiga sama kaki. Nilai a+b adalah…

(A) 2

(B)  $\frac{\pi }{2}$

(C)  $\frac{\pi }{6} + \sqrt 3$

(D)  $\frac{\pi }{4} + \sqrt 2$

(E) $\frac{\pi }{3} + 1$

Jawab :  C
Pembahasan:

Segitiga sama kaki, artinya gradient garis singgungnya  $m =  - 1$

$m = y' =  - 2\sin x$

 $- 1 =  - 2\sin x$

 $\frac{1}{2} = \sin x$

 $x = \frac{\pi }{6}$

 Titik singgung $P(a,b)$ artinya $x = a \to a = \frac{\pi }{6}$

$y = b = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2.\frac{1}{2}\sqrt 3  = \sqrt 3$

Jadi, $a + b = \frac{\pi }{6} + \sqrt 3$

11. Jika $\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \sqrt 2$ maka nilai $\mathop \smallint \limits_1^4 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right)dx$ adalah…

(A) $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$

(B) $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

(C)  $\sqrt 2$

(D)  $2\sqrt 2$

(E) $4\sqrt 2$ 

Jawab : D
Pembahasan:
Misal $\sqrt x  = u\; \to \frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt x }} \to dx = 2\sqrt x \;du$

Saat $x = 1\; \to u = \sqrt 1  = 1$

Saat $x = 4\; \to u = \sqrt 4  = 2$ 

$\mathop \smallint \limits_1^4 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( u \right)2\sqrt x \;du$

$= \mathop \smallint \limits_1^2 2f\left( u \right)du$

 $= 2\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du$

 Diketahui $\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \sqrt 2 \; \to \mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du = \sqrt 2$
maka $2\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du = 2\sqrt 2$

12.  Diketahui $\left( {{a_n}} \right)$ dan $\left( {{b_n}} \right)$ adalah dua barisan aritmatika dengan ${a_1} = 5,{a_2} = 8,{b_1} = 3$ dan ${b_2} = 7$ Jika $A = \left\{ {{a_1},{a_{2,}}{a_3}, \ldots ,{a_{100}}} \right\}$ dan $B = \left\{ {{b_1},{b_{2,}}{b_3}, \ldots ,{b_{100}}} \right\}$. Maka banyaknya anggota $A \cap B$ adalah…

(A) 20

(B) 21

(C) 22

(D) 23

(E) 24

Jawab: -
Pembahasan:
$A = \left\{ {5,\;8\;,\;11,\;14,\;17,\;20,\;23,25,28,\; \ldots ,{a_{100}}} \right\}{\rm{\;}}$
$B = \left\{ {3,\;7\;,\;11,\;15,\;19,\;23,27,31\; \ldots ,{b_{100}}} \right\}$
$A \cap B = \left\{ {11,\;23,\; \ldots } \right\}$
$A \cap B = \left\{ {{a_3},{a_7},\; \ldots } \right\}$
Dapat dilihat bahwa himpunan $A \cap B$ dimulai dari ${a_3},{a_7}$,  dan membentuk barisan aritmatika dengan beda 4. Sehingga banyak anggota $A \cap B$ adalah $\frac{{100}}{4} = 25$

13.  Himpunan semua bilangan real x pada selang $\left[ {\pi ,2\pi } \right]$ yang memenuhi $\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x \ge  - 2$ berbentuk $\left[ {a,b} \right]$ . Nilai $a + b$ adalah…

(A) $\frac{{9\pi }}{4}$

(B)  $\frac{{10\pi }}{4}$

(C)  $\frac{{11\pi }}{4}$

(D)  $\frac{{13\pi }}{4}$

(E)  $\frac{{14\pi }}{4}$

Jawab :  C
Pembahasan :
$\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x \ge  - 2$
$\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 2 \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 1 + 1 \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) - (2{\cos ^2}x - 1) + 1 \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + 1 \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) - \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0$
$\sin \left( {2x} \right) + 2{\sin ^2}x \ge 0$
$2\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x \ge 0$
$2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) \ge 0$
$2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0$
$2\sin x = 0$ atau $\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = 0$                  $\cos x =  - \sin x$
$x = \pi ,2\pi$                  $x = \frac{7}{4}\pi$

Penyelesaian $\left[ {\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right]$, $a = \pi$ dan $b = \frac{7}{4}\pi$
Jadi $a + b = \pi  + \frac{7}{4}\pi  = \frac{{11}}{4}\pi$

14. Himpunan semua nilai c agar $y = {3^{2{x^2} + cx + c}}$ dan $y = {3^{{x^2} - 3}}$ berpotongan adalah...

(A) $\left\{ {c: - 4 < c < 3} \right\}$

(B)  $\left\{ {c: - 6 < c < 2} \right\}$

(C) $\left\{ {c:c\left\langle { - 6\;atau\;c} \right\rangle 2} \right\}$

(D)  $\left\{ {c:c\left\langle { - 2\;atau\;c} \right\rangle 6} \right\}$

(E)  $\left\{ {c:c\left\langle { - 4\;atau\;c} \right\rangle 3} \right\}$

Jawab :  D
Pembahasan:
$y = y$
${3^{2{x^2} + cx + c}} = {3^{{x^2} - 3}}$
$2{x^2} + cx + c = {x^2} - 3$
${x^2} + cx + c + 3 = 0$
Berpotongan $D > 0$
${c^2} - 4.1.\left( {c + 3} \right) > 0$
${c^2} - 4c - 12 > 0$
${c^2} - 4c - 12 = 0$
$\left( {c - 6} \right)\left( {c + 2} \right) = 0$
$c = 6$  atau   $c =  - 2$

$c <  - 2$ atau  $c > 6$

15. Diketahui dua lingkaran ${x^2} + {y^2} = 2$  dan ${x^2} + {y^2} = 4$. Garis ${l_1}$ menyinggung lingkaran pertama di titik $\left( {1, - 1} \right)$ .Garis ${l_2}$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis ${l_1}$. Titik potong garis ${l_1}$ dan ${l_2}$ adalah...

(A) $\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2  - 1} \right)$

(B)   $\left( {1 - \sqrt 2 ,\sqrt 2  - 1} \right)$

(C)  $\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2  + 1} \right)$

(D)  $\left( {1 - \sqrt 2 ,\sqrt 2  - 2} \right)$

(E) $\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2  + 2} \right)$

Jawab : A
Pembahasan:
Lingkaran pertama ${x^2} + {y^2} = 2$ berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan berjari-jari ${r_1} = \sqrt 2$
Lingkaran kedua ${x^2} + {y^2} = 4$ berpusat di $O\left( {0,0} \right)$ dan berjari-jari ${r_1} = 2$

Persamaan garis ${l_1}$. yang menyinggung lingkaran pertama di titk $\left( {1, - 1} \right)$

${x_1}x + {y_1}y = 2$

 $1.x + \left( { - 1} \right)y = 2$

 $x - y = 2\; \to y = x - 2$

 Gradien garis ${l_1}$$\to {m_2} = 1$

      Karena  ${l_2}$ tegak lurus ${l_1}$ maka gradien garis ${l_2} \to {m_2} =  - 1$

      

      Persamaan garis ${l_1}$ menyinggung lingkaran kedua dengan gradient ${m_2} =  - 1$

      $y =  - 1.x \pm 2\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1}$

      $y =  - x \pm 2\sqrt 2$

      

      Titik potong garis ${l_1}$ dan ${l_2}$ adalah:

      $y = y$

 $x - 2 =  - x \pm 2\sqrt 2$

 $2x = 2 \pm 2\sqrt 2$

 $x = 1 \pm \sqrt 2$

 Jika $x = 1 + \sqrt 2$ maka $y = 1 + \sqrt 2  - 2$

 $y = \sqrt 2  - 1$

 Jadi, koordinat titik potongnya adalah: $\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2  - 1} \right)$

Mohon kritik dan sarannya jika ada kesalahan silahkan tuangkan di komentar, semoga bermanfaat. :)

Download naskah Soal SBMPTN 2018 Kode 453 klik disini