Soal dan Pembahasan Buku Sukino BAB 4 Polinomial LKS 12 Akar Persamaan Suku Banyak Matematika Peminatan Kelas XI Kurikulum 2013

LKS 12

1.  Diketahui \(\alpha ,\beta \) dan \(\gamma \)  merupakan akar-akar persamaan \({t^3} - 12{t^2} + 28t + n = 0\) . Jika \(\alpha  = \beta  + \gamma \) , maka nilai n sama dengan…

A.  54

B.  48

C.  36

D.  24

E.  12

Jawab  :  B

Pembahasan  :

\({t^3} - 12{t^2} + 28t + n = 0\) punya akar \(\alpha ,\beta \) dan \(\gamma \) sehingga berlaku:

\(\alpha  + \beta  + \gamma  = 12\), karena \(\alpha  = \beta  + \gamma \) maka:

\(\alpha  + \alpha  = 12\)

\(2\alpha  = 12\)

\(\alpha  = 6\)

\(6 + \beta  + \gamma  = 12 \to \beta  + \gamma  = 6\)

\(\alpha \beta  + \alpha \gamma  + \beta \gamma  = 28\), karena \(\alpha  = \beta  + \gamma \) maka:

\(\left( {\beta  + \gamma {\rm{}}} \right)\beta  + \left( {\beta  + \gamma {\rm{}}} \right)\gamma  + \beta \gamma  = 28\)

\({\beta ^2} + 2\beta \gamma  + {\gamma ^2} + \beta \gamma  = 28\)

\({\left( {\beta  + \gamma } \right)^2} + \beta \gamma  = 28\)

\({\left( 6 \right)^2} + \beta \gamma  = 28\)

\(\beta \gamma  =  - 8\)

\(\alpha .\beta .\gamma  =  - n\), karena \(\alpha  = 6\) dan \(\beta \gamma  =  - 8\) maka:

\(6.\left( { - 8} \right) =  - n\)

\( - 48 =  - n\)

\(n = 48\)

2.    A, B dan C adalah akar-akar persamaan polinom \({x^3} + 4x + 10 = 5{x^2}\) . Nilai dari \({A^2} + {B^2} + {C^2} =  \ldots \)

A.  45

B.  27

C.  17

D.  7

E.  - 17

Jawab  :  E

Pembahasan  :

\({x^3} + 4x + 10 = 5{x^2} \to {x^3} - 5{x^2} + 4x + 10 = 0\) punya akar A, B dan C maka berlaku:

\(A + B + C = 5\)

\(AB + AC + BC = 4\)

\(ABC =  - 10\)

\({A^2} + {B^2} + {C^2} = {\left( {A + B + C} \right)^2} - 2\left( {AB + AC + BC} \right)\)

\( = {5^2} - 2.4\)

\( = 25 - 8\)

\( = 17\)

3.      Salah satu akar dari persamaan \({x^3} + n{x^2} + \left( {2n - 1} \right)x + n + 8 = 0\) adalah - 2. Hasil kali kedua akar lainnya adalah…

A.  - 6

B.  - 5

C.  - 3

D.  3

E.  5

Jawab  :  D

Pembahasan  :

\({x^3} + n{x^2} + \left( {2n - 1} \right)x + n + 8 = 0\) salah satu akarnya adalah - 2  , maka dengan menggunakan konsep teorema faktor:

\({\left( { - 2} \right)^3} + n{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {2n - 1} \right)\left( { - 2} \right) + n + 8 = 0\)

\( - 8 + 4n - 4n + 2 + n + 8 = 0\)

\(n =  - 2\)

Sehingga persamaannya menjadi:

\({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)

Dengan menggunakan bagan horner:

Diperoleh hasil pembagian \({x^2} - 4x + 3\)
Dua akar lainnya dari polynomial \({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\) sama dengan akar dari hasil pembagiannya. Sehingga hasil kali dua akar lainnya dapat diperoleh dari hasil kali akar persamaan \({x^2} - 4x + 3 = 0\).

Misal akar persamaan ({x^2} - 4x + 3 = 0\) adalah \({x_2}\)  dan \({x_3}\) , maka: \({x_2}.{x_3} = 3\)

4.  Diketahui \({x_1},{x_2}\) dan \({x_3}\) merupakan akar-akar persamaan \({x^3} + n = 3{x^2} + x\). Jika \({x_1} =  - {x_2}\), maka \({x_1}.{x_2}.{x_3} =  \ldots \)

A.  - 3

B.  - 2

C.  0

D.  1

E.  3

Jawab  : A

Pembahasan  :

\({x^3} + n = 3{x^2} + x \to {x^3} - 3{x^2} - x + n = 0\) punya akar \({x_1},{x_2}\) dan \({x_3}\) dan \({x_1} =  - {x_2}\), maka berlaku:

\({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\)

\(\left( { - {x_2}} \right) + {x_2} + {x_3} = 3\)

\({x_3} = 3\)

\({x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3} =  - 1\)

\(( - {x_2}){x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} =  - 1\)

\( - {x_2}^2 - 3{x_2} + 3{x_2} =  - 1\)

\({x_2}^2 = 1\)

\({x_2} =  \pm 1\)

Jadi, \({x_1}.{x_2}.{x_3} =  - 1.3 =  - 3\)

Selengkapnya Download disini

Soal dan pembahasan LKS yang lain cek disini.

Kritik dan saran silahkan berikan di komentar, termasuk jika ada salah hitung dan salah ketik.
Terimakasih
Semoga bermanfaat 😊