Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 453
Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 453
"Tips: Ubah ke mode tampilan desktop jika di tampilan mobile equation tidak terbaca"
Pembahasan:
Maksimum f(x)
\( - \frac{1}{4} = {a^2}\left( 1 \right) + a\)
\({a^2} + a + \frac{1}{4} = 0\)
\(4{a^2} + 4a + 1 = 0\)
\({\left( {2a + 1} \right)^2} = 0\)
\(a = - \frac{1}{2}\)
Sehingga \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \left( { - \frac{1}{8}x} \right) - \frac{1}{2}\)
\(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \left( { - \frac{1}{8}x} \right) - \frac{1}{2}\)
Pembahasan :
Koordinat Q(x',y')
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{2.\left( { - 3} \right) - 2}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{ - 8}\end{array}} \right)\)
pergeseran sejauh 5
Proses translasi titik Q(a,-8)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 7}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 5}\\{ - 8 + b}\end{array}} \right)\; \to \begin{array}{*{20}{c}}{a = - 4}\\{b = 1}\end{array}\)
Jadi, \(a + b = - 3\)
Pembahasan
Untuk menghitung jarak H ke PQ dapat menggunakan segitiga PQH atau segitiga HDR
Segitiga HDR
BD diagonal bidang BD = 4
Pembahasan:
Pembahasan:
Barisan geometri \( \to {U_n} = a.{r^{n - 1}}\)
\({U_3} + {U_4} = 9\left( {{U_1} + {U_2}} \right)\)
\(a{r^2} + a{r^3} = 9\left( {a + ar} \right)\)
\(a{r^2}\left( {1 + r} \right) = 9a\left( {1 + r} \right)\)
\({r^2} = 9\)
\(r = 3\)
\({U_1}{U_4} = 18{U_2}\)
\(a.\;a{r^3} = 18.ar\)
\(a{r^2} = 18\)
\(a.9 = 18\)
\(a = 2\)
Jadi, \({S_4} = \frac{{2\left( {{3^4} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = 80\)
Pembahasan :
Perpotongan kedua kurva:
\(y = y \to b\sqrt x = bx \to \sqrt x = x \to {x^2} - x = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) = 0\)
x=0 atau x=1
Banyak semua kemungkinan barisan adalah \(9!\)
Banyak cara membuat Ari dan Ira berdampingan adalah \(2 \times 9!\)
Banyak cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah: \(9! - \;2 \times 8! = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!\)
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah \({r_1} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10} \)
Jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\) adalah \({r_2} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20} \)
Panjang jari-jari lngkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\)
dengan jari-jari \({r_1}\)
9. Sisa pembagian \(p\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} - 2bx - 4a - 4\) oleh \({x^2} + 1\) adalah \( - 5a + 2\). Jika \(p\left( x \right)\) dibagi \(x - 1\) bersisa \( - 17\) maka \(4ab = \ldots \)
Pembahasan:
Porogapit
\(p\left( x \right)\) dibagi \(x - 1\) bersisa \( - 17\)
Pembahasan:
Segitiga sama kaki, artinya gradient garis singgungnya \(m = - 1\)
11. Jika \(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \sqrt 2 \) maka nilai \(\mathop \smallint \limits_1^4 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right)dx\) adalah…
Pembahasan:
Misal \(\sqrt x = u\; \to \frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt x }} \to dx = 2\sqrt x \;du\)
maka \(2\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du = 2\sqrt 2 \)
Pembahasan:
\(A = \left\{ {5,\;8\;,\;11,\;14,\;17,\;20,\;23,25,28,\; \ldots ,{a_{100}}} \right\}{\rm{\;}}\)
\(B = \left\{ {3,\;7\;,\;11,\;15,\;19,\;23,27,31\; \ldots ,{b_{100}}} \right\}\)
\(A \cap B = \left\{ {11,\;23,\; \ldots } \right\}\)
\(A \cap B = \left\{ {{a_3},{a_7},\; \ldots } \right\}\)
Dapat dilihat bahwa himpunan \(A \cap B\) dimulai dari \({a_3},{a_7}\), dan membentuk barisan aritmatika dengan beda 4. Sehingga banyak anggota \(A \cap B\) adalah \(\frac{{100}}{4} = 25\)
Pembahasan :
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x \ge - 2\)
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 2 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 1 + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - (2{\cos ^2}x - 1) + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) + 2{\sin ^2}x \ge 0\)
\(2\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x \ge 0\)
\(2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) \ge 0\)
\(2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0\)
\(2\sin x = 0\) atau \(\cos x + \sin x = 0\)
\(\sin x = 0\) \(\cos x = - \sin x\)
\(x = \pi ,2\pi \) \(x = \frac{7}{4}\pi \)
Penyelesaian \(\left[ {\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right]\), \(a = \pi \) dan \(b = \frac{7}{4}\pi \)
Jadi \(a + b = \pi + \frac{7}{4}\pi = \frac{{11}}{4}\pi \)
Pembahasan:
\(y = y\)
\({3^{2{x^2} + cx + c}} = {3^{{x^2} - 3}}\)
\(2{x^2} + cx + c = {x^2} - 3\)
\({x^2} + cx + c + 3 = 0\)
Berpotongan \(D > 0\)
\({c^2} - 4.1.\left( {c + 3} \right) > 0\)
\({c^2} - 4c - 12 > 0\)
\({c^2} - 4c - 12 = 0\)
\(\left( {c - 6} \right)\left( {c + 2} \right) = 0\)
\(c = 6\) atau \(c = - 2\)
\(c < - 2\) atau \(c > 6\)
Jawab : A
Pembahasan:
Lingkaran pertama \({x^2} + {y^2} = 2\) berpusat di \(O\left( {0,0} \right)\) dan berjari-jari \({r_1} = \sqrt 2 \)
Lingkaran kedua \({x^2} + {y^2} = 4\) berpusat di \(O\left( {0,0} \right)\) dan berjari-jari \({r_1} = 2\)
Persamaan garis \({l_1}\).
"Tips: Ubah ke mode tampilan desktop jika di tampilan mobile equation tidak terbaca"
1. Jika nilai maksimum fungsi \(f\left( x \right) = {a^2}\sin \left( {{a^3}x} \right) + a\) adalah -1/4
(A) π
(B) 2Ï€
(C) 4Ï€
(D) 8Ï€
(E) 16Ï€Jawab : E
Pembahasan:
Maksimum f(x)
\( - \frac{1}{4} = {a^2}\left( 1 \right) + a\)
\({a^2} + a + \frac{1}{4} = 0\)
\(4{a^2} + 4a + 1 = 0\)
\({\left( {2a + 1} \right)^2} = 0\)
\(a = - \frac{1}{2}\)
Sehingga \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \left( { - \frac{1}{8}x} \right) - \frac{1}{2}\)
Periode \( = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{8}}} = 16\pi \)
2. Pencerminan titik P(a,2)
(A) -5
(B) -3
(C) -1
(D) 1
(E) 3Jawab : B
Pembahasan :
Koordinat Q(x',y')
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{2.\left( { - 3} \right) - 2}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\{ - 8}\end{array}} \right)\)
pergeseran sejauh 5
Proses translasi titik Q(a,-8)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 7}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 5}\\{ - 8 + b}\end{array}} \right)\; \to \begin{array}{*{20}{c}}{a = - 4}\\{b = 1}\end{array}\)
Jadi, \(a + b = - 3\)
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH di tengah-tengah BC
(A) \(\sqrt {15} \)
(B) 4
(C) \(\sqrt {17} \)
(D) \(3\sqrt 2 \)
(E) \(\sqrt {19} \)Jawab : C
Pembahasan
Untuk menghitung jarak H ke PQ dapat menggunakan segitiga PQH atau segitiga HDR
Segitiga HDR
BD diagonal bidang BD = 4\(DR = \frac{3}{4}BD = 3\)
Jarak antara H
\(HR = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {3^2}} \)\( = \sqrt {8 + 9} \)\( = \sqrt {17} \)
4. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }} = \ldots \)
(A) 8
(B) 12
(C) 16
(D) 20
(E) 24Jawab: B
Pembahasan:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }} = \frac{0}{0}\)
Dikalikan sekawan:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {7 - x} }}.\frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} }}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{\left( {\left( {x + 1} \right) + \left( {7 - x} \right)} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{\left( {2x - 6} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {7 - x} } \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {3 + 3} \right)\left( {\sqrt {3 + 1} + \sqrt {7 - 3} } \right)}}{2}\)
\( = 12\)
5. Diketahui barisan geometri \({U_n}\) dengan \({U_3} + {U_4} = 9\left( {{U_1} + {U_2}} \right)\) dan \({U_1}.{U_4} = 18{U_2}\) . Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah…
(A) 66
(B) 72
(C) 78
(D) 80
(E) 88Jawab: D
Pembahasan:
Barisan geometri \( \to {U_n} = a.{r^{n - 1}}\)
\({U_3} + {U_4} = 9\left( {{U_1} + {U_2}} \right)\)
\(a{r^2} + a{r^3} = 9\left( {a + ar} \right)\)
\(a{r^2}\left( {1 + r} \right) = 9a\left( {1 + r} \right)\)
\({r^2} = 9\)
\(r = 3\)
\({U_1}{U_4} = 18{U_2}\)
\(a.\;a{r^3} = 18.ar\)
\(a{r^2} = 18\)
\(a.9 = 18\)
\(a = 2\)
Jadi, \({S_4} = \frac{{2\left( {{3^4} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = 80\)
6. Daerah R b=...
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1Jawab : E
Pembahasan :
Perpotongan kedua kurva:
\(y = y \to b\sqrt x = bx \to \sqrt x = x \to {x^2} - x = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) = 0\)
x=0 atau x=1
\[V = \pi \mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {b\sqrt x } \right)^2} - {\left( {bx} \right)^2}dx + \pi \mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {bx} \right)^2} - {\left( {b\sqrt x } \right)^2}dx\]
\[\pi = \pi \left( {\mathop \smallint \limits_0^1 {b^2}x - {b^2}{x^2}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {b^2}{x^2} - {b^2}xdx} \right)\]
\[1 = \left. {\left( {\frac{{{b^2}{x^2}}}{2} - \frac{{{b^2}{x^3}}}{3}} \right)} \right]\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} + \left. {\left( {\frac{{{b^2}{x^3}}}{3} - \frac{{{b^2}{x^2}}}{2}} \right)} \right]\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}\]
\[1 = \left( {\left( {\frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{3}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {\frac{{8{b^2}}}{3} - \frac{{4{b^2}}}{2}} \right) - \left( {\frac{{{b^2}}}{3} - \frac{{{b^2}}}{2}} \right)} \right)\]
\[\;1 = \frac{{{b^2}}}{6} + \frac{{4{b^2}}}{6} + \frac{{{b^2}}}{6}\]
\(1 = {b^2}\)
\(b = \pm 1\; \to b = 1\)
7. Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah…
(A) \(7 \times 8!\)
(B) \(6 \times 8!\)
(C) \(5 \times 8!\)
(D) \(7 \times 7!\)
(E) \(6 \times 7!\)Jawab: A
Banyak semua kemungkinan barisan adalah \(9!\)
Banyak cara membuat Ari dan Ira berdampingan adalah \(2 \times 9!\)
Banyak cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah: \(9! - \;2 \times 8! = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!\)
8. Jika panjang jari-jari lngkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\), Panjang jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah…
(A) \(\sqrt {10} \)
(B) \(2\sqrt {10} \)
(C) \(3\sqrt {10} \)
(D) \(4\sqrt {10} \)
(E) \(5\sqrt {10} \)Jawab : B
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah \({r_1} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10} \)
Jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\) adalah \({r_2} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20} \)
Panjang jari-jari lngkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\)
\({r_1} = 2{r_2}\)
\(\sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10} = 2\sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20} \)
\(\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10 = 4\left( {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - 20} \right)\)
\(\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10 = \frac{{4{A^2}}}{4} + \frac{{4{B^2}}}{4} - 80\)
\(\frac{{3{A^2}}}{4} + \frac{{3{B^2}}}{4} = 90\)
\(\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} = 30\)Karena panjang jari-jari lngkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By - 10 = 0\) adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + 20 = 0\), maka lingkaran yang lebih besar adalah lingkaran
\({r_1} = \sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} + 10} = \sqrt {30 + 10} = 2\sqrt {10} \)
9. Sisa pembagian \(p\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} - 2bx - 4a - 4\) oleh \({x^2} + 1\) adalah \( - 5a + 2\). Jika \(p\left( x \right)\) dibagi \(x - 1\) bersisa \( - 17\) maka \(4ab = \ldots \)
(A) \( - 12\)
(B) \( - 9\)
(C) \( - 7\)
(D) \( - 6\)
(E) \( - 5\)Jawab : D
Pembahasan:
Porogapit
Sisa pembagian dari operasi porogapit \( - \left( {2b + 1} \right)x - 3a - 4\) (berderajat 1), sisa pembagian dari soal \( - 5a + 2\) (berderajat 0) artinya \(x = 0\) untuk sisa pembagian pada operasi porogapit.
\( - 5a + 2 = - \left( {2b + 1} \right)\left( 0 \right) - 3a - 4\)
\( - 5a + 2 = - 3a - 4\)
\(2a = 6\; \to a = 3\)\(p\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 2bx - 16\)
\(p\left( x \right)\) dibagi \(x - 1\) bersisa \( - 17\)
\(p\left( 1 \right) = - 17\)
\({1^3} - {3.1^2} - 2b.1 - 16 = - 17\)
\( - 2b = 1 \to \;b = - \frac{1}{2}\)Jadi, \(4ab = 4.3.\;\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6\)
10. Segitiga yang dibatasi oleh sumbu x
(A) 2
(B) \(\frac{\pi }{2}\)
(C) \(\frac{\pi }{6} + \sqrt 3 \)
(D) \(\frac{\pi }{4} + \sqrt 2 \)
(E) \(\frac{\pi }{3} + 1\)Jawab : C
Pembahasan:
Segitiga sama kaki, artinya gradient garis singgungnya \(m = - 1\)
\(m = y' = - 2\sin x\)
\( - 1 = - 2\sin x\)
\(\frac{1}{2} = \sin x\)
\(x = \frac{\pi }{6}\)
Titik singgung \(P(a,b)\) artinya \(x = a \to a = \frac{\pi }{6}\)
\(y = b = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2.\frac{1}{2}\sqrt 3 = \sqrt 3 \)Jadi, \(a + b = \frac{\pi }{6} + \sqrt 3 \)
11. Jika \(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \sqrt 2 \) maka nilai \(\mathop \smallint \limits_1^4 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right)dx\) adalah…
(A) \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
(B) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
(C) \(\sqrt 2 \)
(D) \(2\sqrt 2 \)
(E) \(4\sqrt 2 \)Jawab : D
Pembahasan:
Misal \(\sqrt x = u\; \to \frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{2\sqrt x }} \to dx = 2\sqrt x \;du\)
Saat \(x = 1\; \to u = \sqrt 1 = 1\)
Saat \(x = 4\; \to u = \sqrt 4 = 2\)\(\mathop \smallint \limits_1^4 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right)dx = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{1}{{\sqrt x }}f\left( u \right)2\sqrt x \;du\)
\( = \mathop \smallint \limits_1^2 2f\left( u \right)du\)
\( = 2\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du\)Diketahui \(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \sqrt 2 \; \to \mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du = \sqrt 2 \)
maka \(2\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( u \right)du = 2\sqrt 2 \)
12. Diketahui \(\left( {{a_n}} \right)\) dan \(\left( {{b_n}} \right)\) adalah dua barisan aritmatika dengan \({a_1} = 5,{a_2} = 8,{b_1} = 3\) dan \({b_2} = 7\) Jika \(A = \left\{ {{a_1},{a_{2,}}{a_3}, \ldots ,{a_{100}}} \right\}\) dan \(B = \left\{ {{b_1},{b_{2,}}{b_3}, \ldots ,{b_{100}}} \right\}\). Maka banyaknya anggota \(A \cap B\) adalah…
(A) 20
(B) 21
(C) 22
(D) 23
(E) 24Jawab: -
Pembahasan:
\(A = \left\{ {5,\;8\;,\;11,\;14,\;17,\;20,\;23,25,28,\; \ldots ,{a_{100}}} \right\}{\rm{\;}}\)
\(B = \left\{ {3,\;7\;,\;11,\;15,\;19,\;23,27,31\; \ldots ,{b_{100}}} \right\}\)
\(A \cap B = \left\{ {11,\;23,\; \ldots } \right\}\)
\(A \cap B = \left\{ {{a_3},{a_7},\; \ldots } \right\}\)
Dapat dilihat bahwa himpunan \(A \cap B\) dimulai dari \({a_3},{a_7}\),
13. Himpunan semua bilangan real x
(A) \(\frac{{9\pi }}{4}\)
(B) \(\frac{{10\pi }}{4}\)
(C) \(\frac{{11\pi }}{4}\)
(D) \(\frac{{13\pi }}{4}\)
(E) \(\frac{{14\pi }}{4}\)Jawab : C
Pembahasan :
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x \ge - 2\)
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 2 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - 2{\cos ^2}x + 1 + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - (2{\cos ^2}x - 1) + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + 1 \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - {\rm{cos}}\left( {2x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) - \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x \ge 0\)
\(\sin \left( {2x} \right) + 2{\sin ^2}x \ge 0\)
\(2\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x \ge 0\)
\(2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) \ge 0\)
\(2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0\)
\(2\sin x = 0\) atau \(\cos x + \sin x = 0\)
\(\sin x = 0\) \(\cos x = - \sin x\)
\(x = \pi ,2\pi \) \(x = \frac{7}{4}\pi \)
Penyelesaian \(\left[ {\pi ,\frac{7}{4}\pi } \right]\), \(a = \pi \) dan \(b = \frac{7}{4}\pi \)
Jadi \(a + b = \pi + \frac{7}{4}\pi = \frac{{11}}{4}\pi \)
14. Himpunan semua nilai c
(A) \(\left\{ {c: - 4 < c < 3} \right\}\)
(B) \(\left\{ {c: - 6 < c < 2} \right\}\)
(C) \(\left\{ {c:c\left\langle { - 6\;atau\;c} \right\rangle 2} \right\}\)
(D) \(\left\{ {c:c\left\langle { - 2\;atau\;c} \right\rangle 6} \right\}\)
(E) \(\left\{ {c:c\left\langle { - 4\;atau\;c} \right\rangle 3} \right\}\)Jawab : D
Pembahasan:
\(y = y\)
\({3^{2{x^2} + cx + c}} = {3^{{x^2} - 3}}\)
\(2{x^2} + cx + c = {x^2} - 3\)
\({x^2} + cx + c + 3 = 0\)
Berpotongan \(D > 0\)
\({c^2} - 4.1.\left( {c + 3} \right) > 0\)
\({c^2} - 4c - 12 > 0\)
\({c^2} - 4c - 12 = 0\)
\(\left( {c - 6} \right)\left( {c + 2} \right) = 0\)
\(c = 6\) atau \(c = - 2\)
\(c < - 2\) atau \(c > 6\)
15. Diketahui dua lingkaran \({x^2} + {y^2} = 2\) dan \({x^2} + {y^2} = 4\). Garis \({l_1}\) menyinggung lingkaran pertama di titik \(\left( {1, - 1} \right)\) .Garis \({l_2}\) menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis \({l_1}\). Titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah...
(A) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1} \right)\)
(B) \(\left( {1 - \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1} \right)\)
(C) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 + 1} \right)\)
(D) \(\left( {1 - \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 2} \right)\)
(E) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 + 2} \right)\)
Jawab : A
Pembahasan:
Lingkaran pertama \({x^2} + {y^2} = 2\) berpusat di \(O\left( {0,0} \right)\) dan berjari-jari \({r_1} = \sqrt 2 \)
Lingkaran kedua \({x^2} + {y^2} = 4\) berpusat di \(O\left( {0,0} \right)\) dan berjari-jari \({r_1} = 2\)
Persamaan garis \({l_1}\).
\({x_1}x + {y_1}y = 2\)
\(1.x + \left( { - 1} \right)y = 2\)
\(x - y = 2\; \to y = x - 2\)
Gradien garis \({l_1}\)\( \to {m_2} = 1\)
Karena \({l_2}\) tegak lurus \({l_1}\) maka gradien garis \({l_2} \to {m_2} = - 1\)
Persamaan garis \({l_1}\) menyinggung lingkaran kedua dengan gradient \({m_2} = - 1\)
\(y = - 1.x \pm 2\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \)
\(y = - x \pm 2\sqrt 2 \)
Titik potong garis \({l_1}\) dan \({l_2}\) adalah:
\(y = y\)
\(x - 2 = - x \pm 2\sqrt 2 \)
\(2x = 2 \pm 2\sqrt 2 \)
\(x = 1 \pm \sqrt 2 \)
Jika \(x = 1 + \sqrt 2 \) maka \(y = 1 + \sqrt 2 - 2\)
\(y = \sqrt 2 - 1\)
Jadi, koordinat titik potongnya adalah: \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\sqrt 2 - 1} \right)\)
Mohon kritik dan sarannya jika ada kesalahan silahkan tuangkan di komentar, semoga bermanfaat. :)
Download naskah Soal SBMPTN 2018 Kode 453 klik disini
Mohon kritik dan sarannya jika ada kesalahan silahkan tuangkan di komentar, semoga bermanfaat. :)
Download naskah Soal SBMPTN 2018 Kode 453 klik disini
Comments
Post a Comment